Οι οριακές παραμορφώσεις σε κατάσταση αστοχίας και διαρροής
Κατάσταση αστοχίας
Κατά τον προσδιορισμό της αντοχής αστοχίας σε κάμψη οπλισμένων διατομών, γίνονται οι παρακάτω παραδοχές :
· οι επίπεδες διατομές παραμένουν επίπεδες και μετά τη φόρτιση,
· η παραμόρφωση των οπλισμών υπό εφελκυσμό ή θλίψη, είναι η ίδια με εκείνη του σκυροδέματος που τους περιβάλει,
· η εφελκυστική αντοχή του σκυροδέματος αγνοείται,
· η θλιπτική παραμόρφωση του σκυροδέματος δεν πρέπει να υπερβαίνει την τιμή ecu2 (ecu2=3.5‰ για ποιότητες ≤C50) και οι παραμορφώσεις των οπλισμών δεν πρέπει να υπερβαίνουν την τιμή eud
· σε περίπτωση που θλίβεται το σύνολο της διατομής, η μέση θλιπτική παραμόρφωση του σκυροδέματος δεν επιτρέπεται να υπερβαίνει την τιμή ec2 (ec2 =2.0‰ για ποιότητες ≤C50)
· Σε κάθε εντατική κατάσταση, υπάρχουν δύο πιθανότητες: ή να θλίβεται ένα μέρος της διατομής, ή να θλίβεται ολόκληρη η διατομή.
oΌταν θλίβεται ένα μέρος της διατομής θεωρείται ότι εξαντλείται είτε η οριακή παραμόρφωση του χάλυβα eud. (σημείο Α), είτε η οριακή παραμόρφωση του σκυροδέματος ecu2 (σημείο Β)
§ Όταν εξαντλείται η οριακή παραμόρφωση του χάλυβα eud, η παραμόρφωση του σκυροδέματος κινείται μεταξύ των τιμών 0 και ecu2 [περιοχή 1]
§ Όταν εξαντλείται η οριακή παραμόρφωση του σκυροδέματος ecu2, η παραμόρφωση του χάλυβα κινείται μεταξύ των τιμών 0 και eud [περιοχή 2]
§ Όταν εφελκύεται τμήμα της περιοχής μεταξύ της κάτω ίνας και του κάτω οπλισμού, θεωρείται ότι εξαντλείται η οριακή παραμόρφωση του σκυροδέματος ecu2, [περιοχή 3]
oΌταν θλίβεται ολόκληρη η διατομή, η μέση τάση του σκυροδέματος δεν επιτρέπεται να είναι μεγαλύτερη από την εc2 με τη θεώρηση ότι η κατανομή των παραμορφώσεων βρίσκεται στην ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο C [περιοχή 4].
Εικόνα A‑21: Επιτρεπόμενες κατανομές παραμορφώσεων στην οριακή κατάσταση αστοχίας
Εικόνα A‑22: Οι οριακές περιοχές των παραμορφώσεων και η δημιουργία των αντίστοιχων θλιβόμενων περιοχών σε κατάσταση αστοχίας.
Παρατηρήσεις
· Για κάθε πρόβλημα διαστασιολόγησης μίας διατομής, είναι ανάγκη να ξέρουμε σε ποια περιοχή κινείται η λύση της επειδή κάθε περιοχή έχει το δικό της συνδυασμό εξισώσεων.
· Σε περίπτωση βέλτιστης όπλισης (όταν ρ2/ρ1=0), η περιοχή 2b χρησιμοποιείται μόνο σε προβλήματα B, ενώ σε προβλήματα A θεωρείται ‘αντιοικονομική’ και τότε χρησιμοποιείται η λύση επί της ευθείας 1’’B με διπλό οπλισμό.
· Σε περίπτωση που ρ2/ρ1≠0, στο ενδιάμεσο της περιοχής 2 υπάρχει ένα χαρακτηριστικό ασυμπτωτικό σημείο όπου εκατέρωθεν αυτού το As1 γίνεται ±∞
Η λογική των οριακών περιοχών ισχύει για κάθε είδος θλιβόμενης διατομής, κυκλικού τόξου, πολυγωνικής και μικτής. Τότε το ύψος h της τυχούσας διατομής αντιστοιχεί στην κάθετη απόσταση προς τον ουδέτερο άξονα (της εκάστοτε έντασης) του πιο απομακρυσμένου θλιβόμενου σημείου από το πλέον απομακρυσμένο εφελκυόμενο σημείο. Το ανάλογο ισχύει για τις αποστάσεις d1, d2.
Κατάσταση διαρροής
Κατά τον προσδιορισμό της αντοχής διαρροής σε κάμψη οπλισμένων διατομών, γίνονται οι ανάλογες παραδοχές με τη διαφορά ότι η μέγιστη παραμόρφωση του σκυροδέματος είναι εc2 και του χάλυβα εyd.
Η περιοχή των επιτρεπόμενων κατανομών των παραμορφώσεων φαίνεται στην Εικόνα Α-23:
Εικόνα A‑23: Επιτρεπόμενες κατανομές παραμορφώσεων στην οριακή κατάσταση διαρροής
Εικόνα A‑24: Οι οριακές περιοχές των παραμορφώσεων και η δημιουργία των αντίστοιχων θλιβόμενων περιοχών σε κατάσταση διαρροής.
Παρατηρήσεις
· Σε περίπτωση βέλτιστης όπλισης (όταν ρ2/ρ1=0), η περιοχή II χρησιμοποιείται μόνο σε προβλήματα B, ενώ σε προβλήματα A θεωρείται ‘αντιοικονομική’ και τότε χρησιμοποιείται η λύση επί της ευθείας 1’’2’’ με διπλό οπλισμό.
· Σε περίπτωση που ρ2/ρ1≠0, στο ενδιάμεσο της περιοχής II υπάρχει ένα χαρακτηριστικό ασυμπτωτικό σημείο όπου εκατέρωθεν αυτού το As1 γίνεται ±∞
· Η κατάσταση διαρροής χρησιμοποιείται κυρίως για τον υπολογισμό της πλαστιμότητας και η διαστασιολόγηση της τίθεται σαν πρόβλημα B, δηλαδή δίνεται ο οπλισμός και ζητείται η διαστασιολόγηση της διατομής ουσιαστικά για να προκύψουν τα εc, εs και εξ αυτών η καμπυλότητα.
· Η λογική των οριακών περιοχών ισχύει και για τυχούσα πολυγωνική θλιβόμενη περιοχή, όπως και στην κατάσταση αστοχίας
Η γενική επίλυση διατομής σε κατάσταση αστοχίας ή διαρροής
Η επίλυση έγκειται στον προσδιορισμό του x, δηλαδή στον προσδιορισμό του ύψους της θλιβόμενης ζώνης. Η μέθοδος επίλυσης μπορεί να είναι είτε δοκιμαστική γενική περίπτωση οποιουδήποτε βαθμού, είτε δευτεροβάθμια εξίσωση ή ακόμη και πρωτοβάθμια εξίσωση.
Σε να επιλεγεί η κατάλληλη μέθοδος επίλυσης πρέπει πρώτα να προσδιοριστεί η περιοχή στην οποία βρίσκεται η λύση. Το θέμα του προσδιορισμού της περιοχής της λύσης, τόσο σε κατάσταση αστοχίας, όσο και σε κατάσταση διαρροής, έχει εξαντληθεί στις προηγούμενες παραγράφους. Στην παρούσα παράγραφο θα εξεταστεί η μέθοδος προσδιορισμού του x που αντιστοιχεί σε κάθε περιοχή.
Όταν προσδιοριστεί το x, μπορούν να υπολογιστούν όλα τα υπόλοιπα μεγέθη του εκάστοτε προβλήματος.
Η επίλυση της διατομής όταν κρίσιμη είναι η παραμόρφωση του χάλυβα
Σε περίπτωση προβλήματος A, δηλαδή στο πρόβλημα που δίνεται η εξωτερική ροπή Μd και ζητείται ο αναγκαίος οπλισμός As1 (άρα και As2), δοκιμάζουμε διάφορα x τα οποία θα μας δίνουν μία εσωτερική ροπή Md_x. Το ζητούμενο x είναι αυτό που θα δώσει Md_x=Md.
Σε περίπτωση προβλήματος B, δηλαδή στο πρόβλημα που δίνεται ο οπλισμός As1 και ζητείται η ροπή αντοχής Md, δοκιμάζουμε διάφορα x τα οποία θα μας δίνουν έναν οπλισμό As1_x. Το ζητούμενο x είναι αυτό που θα δώσει As1_x=As1.
Ακολουθούν οι επικεφαλίδες των δύο περιπτώσεων:
Πίνακας Προβλήματος Α όταν κρίσιμο υλικό είναι ο Χάλυβας
Πίνακας Προβλήματος Β όταν κρίσιμο υλικό είναι ο Χάλυβας
Σε κάθε βήμα έχουμε δύο οριακές τιμές x1, x2 και τις αντίστοιχες συνακόλουθες τιμές των εσωτερικών μεγεθών Md_1 και Md_2 (ή Αs1_1 και Αs1_2) στο εύρος των οποίων γνωρίζουμε ότι κινείται η λύση του x.
Ο στόχος είναι να περιορίζεται σε κάθε βήμα η απόσταση μεταξύ των x1, x2 ώστε στο τέλος να συμπέσουν πρακτικά ώστε να έχουμε την τελική λύση x=x1=x2 και μαζί να έχουμε το As1 (ή Md) της τελευταίας δοκιμής. Προϋπόθεση είναι να γνωρίζουμε την περιοχή της λύσης για να μπορούμε να δώσουμε τις αρχικές τιμές των x1, x2. Η περιοχή της λύσης είναι διαφορετική στην κατάσταση διαρροής και διαφορετική στην κατάσταση αστοχίας.
Σε όλες τις δοκιμές είναι γνωστή η οριακή παραμόρφωση του χάλυβα εs1=εs και επομένως έχουμε παντού την ίδια τάση σs1.
Ξεκινάμε με τις οριακές τιμές της περιοχής της λύσης, δηλαδή με τα x1, Md_1 (ή As1_1) που αντιστοιχούν στην αρχή της περιοχής της λύσης και x2, Md_2 (ή As1_2) που αντιστοιχούν στο τέλος της περιοχής της λύσης.
Σε κάθε βήμα:
1) επειδή η συνάρτηση των x, Md(ή As1) είναι μονοτονική σε όλο το διάστημα x1,x2 επιλέγουμε το εκάστοτε x με τραπεζοειδή παρεμβολή μεταξύ των Md_1, Md_2 (ή As1_1, As1_2) βάσει του δεδομένου Md, οπότε λαμβάνεται x=x1+(x2-x1)×(Md-Md_1)/(Md_2-Md_1) ή (ή As1 αντί Md) αντίστοιχα αντί Md, As1 εκ του οποίου προκύπτει η ροπή Md_x (ή ο οπλισμός Αs1_x)
2) Από τις εξισώσεις (Α.6) → εc=εs1×x/(d-x) και από την §Α.1.2 υπολογίζονται τα α, κ και εν συνεχεία τα Fc=kF×x×α, zc=κ×x και αν χρειάζεται υπολογίζεται το εs2=εc×(x-d2)/x → προκύπτει το σs2 και το Fs2. Τέλος, από την εξίσωση (Α.8) υπολογίζεται το Md_x (ή από την εξίσωση (Α.7) το As1_x)
3) Στον επόμενο κύκλο λαμβάνεται x1=x και Md_1=Md_x (As1=As1_x) ενώ τα x2 και Md_2 (As1_2) παραμένουν ίδια