Παράρτημα Γ

Απλό παράδειγμα ορόφου με 4 υποστυλώματα
που καταλήγουν σε άκαμπτη πλάκα-διάφραγμα

 

Γενικά, κατά την οριζόντια ώθηση H ενός ορόφου, λόγω της ύπαρξης της πλάκας που στο επίπεδο της είναι πρακτικά άκαμπτη, όλα τα σημεία, άρα και οι κεφαλές των κολονών επί της πλάκας θα κινηθούν με τον ίδιο κανόνα.

Ο κανόνας αυτής της κίνησης είναι ότι το διάφραγμα θα έχει μία παράλληλη (μεταφορική) μετατόπιση κατά δ_xo, δ_yo και μία περιστροφή θ_z πέριξ ενός σημείου C_T(x_CT, y_CT) που ονομάζεται πόλος περιστροφής, στο σύστημα xC_Ty που έχει αρχή των αξόνων το σημείο C_T και γωνία κλίσης a ως προς το αρχικό σύστημα X0Y.

 

 

Χ0Υ     αρχικό σύστημα συντεταγμένων
x’0y’     βοηθητικό σύστημα συντεταγμένων
xC_Ty    κύριο σύστημα συντεταγμένων

ζ= x·cosφ+y·sinφ η=-x·sinφ+y·cosφ   x=ζ·cosφ-η·sinφ y=ζ·sinφ+η·cosφ   διάνυσμα επί του x: ζ=x·cosφ & η=-x·sinφ   διάνυσμα επί του y:  ζ=y·sinφ & η=y·cosφ

Τυπολόγιο αλλαγής αξόνων λόγω στροφής

 

Εξασκώντας οριζόντια δύναμη H_x επί του C_T κατά x, θα πρέπει να ισχύουν οι 3 παρακάτω εξισώσεις ισορροπίας:

·         Το άθροισμα των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση x να είναι ίσο με H_x, δηλαδή  Hx=Σ(Vxxoi)                                                                  (i)

·         Το άθροισμα των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση y να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή  Σ(Vxyoi)=0.0                                                            (ii)

·         Το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων V_xxoi και V_xyoi ως προς το σημείο C_T να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή Σ(V_xxoi·y_i-V_xyoi·x_i)=0     (iii)                                                                               

όπου V_xyoi=δ_xo·K_xyi με K_xyi=1/2·(K_ζi-K_ηi)·sin2φ’_i   και φ’_i=φ_i-a

Η (i) δίνει H_x=Σ(δ_xo·K_xxi)=δ_xo·Σ(K_xxi) →  όπου 

Επειδή ισχύει η ταυτότητα sin(w₁-w₂)=sinw₁·cosw₂-cosw₁·sinw₂, K_xyi=1/2·(K_ζi-K_ηi)·(sin2φ_i·cos2a-cos2φ_i·sin2a) η εξίσωση (ii) γίνεται Σ(K_xyi)=0 → Σ[(K_ζi-K_ηi)·sin2φi·cos2a]=Σ[(K_ζi-K_ηi)cos2φ_i·sin2a] → cos2a·Σ[(K_ζi-K_ηi)·sin2φ_i]=sin2a·Σ[(K_ζi-K_ηi)·cos2φ_i] →

                                                                (3)

Από αυτή τη σχέση υπολογίζεται η γωνία a του κυρίου συστήματος, του οποίου όμως δεν γνωρίζουμε ακόμη τις συντεταγμένες x_CT, y_CT του πόλου περιστροφής C_T. Μπορούμε να εργασθούμε στο βοηθητικό σύστημα x’0y’ που είναι παράλληλο προς το xC_Ty και έχει το πλεονέκτημα ότι οι δυσκαμψίες του είναι ίδιες με αυτές του τελικού κύριου συστήματος xC_Ty. Μεταφέρουμε επομένως τις συντεταγμένες X,Y στις x’,y’.

Παράδειγμα:

Υπολογισμός γωνίας a κυρίου συστήματος :

Συνεχίζοντας με τις τιμές των K_ζ, K_η που έχουν ήδη υπολογιστεί και δεδομένου ότι 2φ₁=2φ₂=0˚, 2φ₃=60˚ και 2φ₄=90˚, προκύπτει:

(3) → tan2a=Σ[(K_ζi-K_ηi)·sin2φ_i]/Σ[(K_ζi-K_ηi)·cos2φ_i] →

tan2a=[(31.1-31.1)·10⁶·sin0˚ +(31.1-31.1)·10⁶·sin0˚+(186.6-26.2)·10⁶·sin60˚+ (19.7-78.7)·10⁶·sin90˚]/

/[( 31.1-31.1)·10⁶·cos0˚+(31.1-31.1)·10⁶·cos0˚ + (186.6-26.2) ·10⁶·cos60˚+ (19.7-78.7)·10⁶·cos90˚]= =[0+0+138.9-59.0]/[0+0+80.2+0.0]=79.9/80.2=0.996 → 2a=44.88˚ → a=22.44˚

Άρα το κύριο σύστημα έχει κλίση γωνίας a=22.44˚

Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων : Από το αρχικό σύστημα X0Y μεταφερόμαστε στο βοηθητικό x’0y’ που είναι παράλληλο προς το κύριο σύστημα συντεταγμένων xC_Ty και επομένως έχει γωνία κλίσης a=22.4˚:

Είναι sina=0.3817, cosa=0.9243

C₁: από C₁(0,0) και φ₁=0˚ γίνεται C₁(0,0) φ’₁=-22.44˚

C₂: από C₂(6.0,0) και φ₂=0˚ γίνεται C₂(6.0·0.924=5.544, -6.0·0.3817=-2.290), φ’₂=-22.44˚

C₃: από C₃(0.0,5.0) και φ₃=30˚  γίνεται C3(5.0·0.3817=1.9085, 5.0·0.924=4.62), φ’₃=30˚-22.44˚ =7.56˚ → C₃(5.544, -2.290), φ’₃=7.56˚

C₄: από C₄(6.0, 5.0) και φ₄=45˚  γίνεται C₄(6.0·0.924+5.0·0.3817=7,4542, -6.0·0.3817+5.0·0.9243=2.331), φ’₄=45˚-22.44˚ =22.56˚ → C4(7.454, -2.331), φ’₄=22.56˚

C_M: από C_M(3.0, 2.5) γίνεται C_M(3.0·0.924+2.5·0.3817=3.727, -3.0·0.3817+2.5·0.9243=1.166)

Εργαζόμαστε στο βοηθητικό σύστημα συντεταγμένων x’0y’

Είναι x_i=x’_i-x’_CT και y_i=y’_i-y’_CT  οπότε από την εξίσωση (iii) προκύπτει:

δ_xo·Σ((y’_i-y_o)·K_xxi-(x’_i- x’_CT)·K_xyi)=0 → Σ(y’_i·K_xxi)-y_o·Σ(K_xxi)-Σ(x’_i·K_xyi)+ x’_CT·Σ(K_xyi)=0 →

Σ((x’_i- x’_CT)·K_yyi-(y’_i- y’_CT)·K_xyi)=0 → -Σ(y’_i·K_xyi)+ y’_CT ·Σ(K_xyi)+Σ(x’_i·K_yyi)- x’_CT·Σ(K_yyi)=0.

Επειδή Σ(K_xyi)=0, Σ(y’_i·K_xxi)- y’_CT·Σ(K_xxi)-Σ(x’_i·K_xyi)=0 →

-Σ(y’_i·K_xyi)+Σ(x’_i·K_yyi)- x’_CT·Σ(K_yyi)=0 →  

  

 

Με ανάλογο τρόπο και λαμβάνοντας υπόψη ότι K_yxi=K_xyi, προκύπτουν οι αντίστοιχοι τύποι:όπου

   όπου  ,       

Άρα τελικά οι σχέσεις είναι:

,    όπου                             (4)

,    όπου                             (5)

Παράδειγμα:

Δυσκαμψίες κολονών ως προς το κύριο σύστημα xC_Ty:

C₁, C₂ επειδή είναι τετράγωνες → K_xx1=K_yy1=K_xx2=K_yy2=31.1·10⁶ N/m, K_xy1=K_xy2=0.0

C₃: φ’₃=7.56˚ (a) → K_xx3= K_ζ3·cos²φ₃+K_η3·sin²φ₃ =[186.6·0.9913²+26.2·0.1316²]·10⁶=183.82·10⁶ N/m

(b) →  K_xy3=(1/2)·(K_ζ3-K_η3)·sin2φ₃=0.5·(186.6-26.2)· 10⁶·0.261=20.93·10⁶ N/m

(d) → K_yy3= K_ζ3·sin²φ_i+K_η3·cos²φ₃ =[186.6·0.1316²+26.2·0.9913²] ·10⁶ N/m =28.98·10⁶ N/m

C4: φ’₄=22.56˚ (a) → K_xx4=K_ζ4·cos²φ₄+K_η4·sin²φ₄=[19.7·0.9235²+78.7·0,3837²] ·10⁶=28.39·10⁶ N/m

(b) →  K_xy4=(1/2)·(K_ζ4-K_η4)·sin2φ₄=0.5·(19.7-78.7)·10⁶·0.709=-20.92·10⁶ N/m

(d) → K_yy4= K_ζ4·sin²φ_i+K_η4·cos²φ₃ =[19.7·0,3837²+78.7·0.9235²] ·10⁶=70.02·10⁶ N/m

Συνολικές δυσκαμψίες του διαφράγματος και στατικές ροπές των δυσκαμψιών ως προς το C_T :

K_xx=Σ(K_xxi)=( 31.1+31.1+183.82+28.39) ·10⁶=274.41·10⁶ N/m

K_yy=Σ(K_yyi)= (31.1+31.1+28.98+70.02) ·10⁶=161.2·10⁶ N/m

Σ(x’_i·K_yyi)=[0.0·31.1+5.544·31.1+1.9085·28.98+7.4542·70.02]·10⁶ =749.55·10⁶ N

Σ(x’_i·K_xyi)=[0.0·0+5.544·0+1.9085·20.93+7.4542·(-20.93)]·10⁶=-116.07·10⁶ N

Σ(y’_i·K_xxi)=[0.0·31.1 -2.29·31.1 +4.62·183.82+2.331·28.39]·10⁶=844.21·10⁶ N

Σ(y’_i·K_xyi)= [0.0·0.0 -2.29·0.0 +4.62·20.93+2.331· (-20.92)]·10⁶=47.93·10⁶ N

x’_CK=[Σ(x’_i·K_yyi)-Σ(y’_i·K_xyi)]/Σ(K_yyi)=( 749.55-47.93)/161.2=4.353 m

y’_CK=[Σ(y’_i·K_xxi)-Σ(x’_i·K_xyi)]/Σ(K_xxi)=( 844.21+116.07)/274.41=3.500 m

 

Μετατοπίσεις λόγω στροφής από ροπή M στο Κέντρο Ελαστικής Στροφής CT

Οι μετατοπίσεις τυχόντος σημείου i του διαφράγματος λόγω στροφής κατά θz   δi=ri·θz δxi =-δi·sinωi sinωi =yi /ri δxi =-ri·θz·yi/ri=-yi·θz δyi=xi·θz

Εργαζόμαστε στο κύριο σύστημα συντεταγμένων xC_Ty

Εξετάζουμε την παραμόρφωση που δημιουργείται από εξωτερική ροπή M που εξασκείται στο κέντρο ελαστικής στροφής C_T . Για να εξετάσουμε αυτή τη κίνηση πρέπει να μεταφερθούμε από το βοηθητικό x’0y’ στο κύριο σύστημα xC_Ty και για να γίνει αυτό χρειάζεται απλώς μία παράλληλη μεταφορά. Μεταφέροντας και το κέντρο μάζας στο κύριο σύστημα, έχουμε τις στατικές εκκεντρότητες e_ox, e_oy του C_M ως προς το C_T από τις σχέσεις:

 

 ,  , ,                                        (6)

 

Η παραμόρφωση του διαφράγματος είναι μία στροφή θ_z γύρω από το C_T. Η στροφή θ_z του διαφράγματος προκαλεί μετατόπιση δ_i στη κεφαλή κάθε υποστυλώματος i που έχει συντεταγμένες x_i,y_i ως προς το σύστημα συντεταγμένων με αρχή το C_T. Αν η απόσταση του σημείου i από το C_T είναι r_i, οι δύο συνιστώσες της (απειροστής) παραμόρφωσης δ_i είναι: δ_xi=-θ_z·y_i και δ_yi= θ_z·x_i

 

Παράδειγμα:

Μεταφορά συντεταγμένων στο κύριο σύστημα και υπολογισμός των στατικών εκκεντροτήτων :

Από τις σχέσεις (6) προκύπτουν

C₁(0.0-4.353=-4.35, 0.0-3.500=-3.50) φ’₁=-22.44˚                K_xx=31.1·10⁶, K_yy=31.1·10⁶, K_xy=0.0

C₂(5.544-4.353=1.19, -2.290-3.500=-5.79), φ’₂=-22.44˚                   K_xx=31.1·10⁶, K_yy=31.1·10⁶, K_xy=0.0

C₃(1.9085-4.353=-2.44, 4.62-3.500=1.12), φ’₃=7.56˚                        K_xx=183.82, K_yy=28.98, K_xy=20.93

C₄(7,4542-4.353=3.10, 2.3312-3.500=-1.17), φ’₄=22.56˚      K_xx=28.39, K_yy=70.02, K_xy=-20.92

C_M(3.727-4.353=-0.626, 1.166-3.500=-2.334) και προφανώς C_T(0,0)

e_ox=-0.626 m, e_oy=-2.334 m

 

 

Οι μετατοπίσεις δ_xi, δ_yi δημιουργούν σε κάθε υποστύλωμα τέμνουσες V_xi και V_yi όπου

V_xi=K_xxi·δ_xi= K_xxi·(-θ_z·y_i ) → V_xi= -θ_z·K_xxi·y_i και             V_yi=K_yyi·δ_yi=k_yyi·θ_z·x_i →            V_yi=θ_z·k_yyi·x_i

Η συνισταμένη των ροπών όλων των τεμνουσών δυνάμεων V_xi, V_yi ως προς το κέντρο ελαστικής στροφής πρέπει να είναι ίση με την εξωτερική ροπή M_CT  δηλαδή:

    όπου                                                      (7)

Παράδειγμα:

Υπολογισμός δυστρεψίας διαφράγματος :

Κ_θ=Σ(K_xxi·y_i²+K_yyi·x_i²+Kzi)=Σ[31.1·3.5²+31.1·4.35²+31.1·5.79²+31.1·1.19²+183.82·1.12²+ 28.98·2.44²+28.39·1.17²+70.02·3.10²]·10⁶ N·m= =[381.0+588.5+1042.6+44.0+230.6+172.5+38.9+672.9] ·10⁶ N·m → Κ_θ=3174·10⁶ N·m

 

Η ποσότητα Κ_θ=Σ(K_xxi·y_i² + K_yyi·x_i²+K_zi) ονομάζεται δυστρεψία του διαφράγματος και έχει μονάδες ροπής π.χ. N·m, κατ’ αναλογία με τις ποσότητες K_x=Σ(K_xi), K_y=Σ(K_yi) που ονομάζονται μεταφορικές δυσκαμψίες του διαφράγματος κατά τη διεύθυνση x και y αντίστοιχα και έχουν μονάδες N/m. Η (ίδια) δυστρεψία της κολόνας είναι συνήθως μικρή και μπορεί να αγνοείται (§5.4.3.4).

Ορισμοί:

Μεταφορική δυσκαμψία Κ_jk διαφράγματος είναι η δύναμη κατά j που χρειάζεται για να προκαλέσει μετατόπιση του διαφράγματος κατά μία μονάδα προς τη διεύθυνση k.

Δυστρεψία διαφράγματος Κ_θ είναι η ροπή που χρειάζεται για να προκαλέσει στροφή του διαφράγματος κατά μία μονάδα.

 

Ζητείται η δημιουργία ενός ιδεατού απλού ισοδύναμου στατικού συστήματος που θα έχει την ίδια σεισμική συμπεριφορά με το πραγματικό στατικό σύστημα.

Απάντηση: Τοποθετούμε 4 ιδεατές κολόνες E₁, E₂ και E₃, E₄ συμμετρικά ως προς το κέντρο C_T και ως προς τους άξονες x και y, δηλαδή και οι 4 ιδεατές κολόνες έχουν την ίδια απόλυτη τιμή της συντεταγμένης x και της συντεταγμένης y. Οι ιδεατές κολόνες E₁, E_2, E₃, E₄  θεωρείται ότι η κάθε μία έχει δυσκαμψία K_x=1/4·Σ(K_xi) και K_y=1/4·Σ(K_yi).

Το σύστημα αυτό ικανοποιεί τις 2 συνθήκες του πραγματικού συστήματος που αφορούν τις μετακινήσεις ολίσθησης του διαφράγματος του συνόλου των κολονών επειδή έχει :

Δυσκαμψία κατά x: 4·1/4·Σ(K_xi)=Σ(K_xi) και δυσκαμψία κατά y: 4·(1/4)·Σ(K_yi)=Σ(K_yi).

Για να ικανοποιείται η 3^η συνθήκη, πρέπει το ιδεατό σύστημα να έχει δυστρεψία K_θ,eq=[K_x1·y²+K_x2·y²+K_y1·x²+K_y2·x²]=Σ(K_xxi)·y²+Σ(K_yyi) ·x²

ίση με τη δυστρεψία του πραγματικού συστήματος

K_θ,re=K_θ=Σ(K_xxi·y_i² + K_yyi·x_i²-2K_xyi·x_i·y_i+K_zi),

δηλαδή πρέπει K_θ,eq= K_θ,re à Σ(K_xxi)·y²+Σ(K_yyi)·x²=K_θ à

                                              (8)

Η καμπύλη (8) είναι έλλειψη με κέντρο το C_T, διεύθυνση αυτή των κυρίων αξόνων και ημιάξονες r_x, r_y.

Παράδειγμα Γ.6:

Υπολογισμός έλλειψης δυστρεψίας

r_x=√(K_θ/K_yy)=√(3134·10⁶N·m /161.2·10⁶N/m)=4.41 m

r_y=√(K_θ/K_xx)=√(3134·10⁶ N·m /274.41·10⁶N/m)=3.38 m

Συμπέρασμα:

Η στρεπτική συμπεριφορά ενός ορόφου μπορεί να περιγραφεί από την ελλειψοειδή γραμμή δυστρεψίας (C_T, r_x, r_y) που παριστάνει την ισοδύναμη κατανομή της δυσκαμψίας του διαφράγματος.

Οι ακτίνες r_x, r_y, της έλλειψης ονομάζονται ακτίνες δυστρεψίας.

Υπάρχει απειρία λύσεων ιδεατών διπλών ζευγών συστημάτων, εκ των οποίων το πιο χαρακτηριστικό είναι αυτό με τις 4 ιδεατές κολόνες στα 4 άκρα της έλλειψης.

Γενικότερα δε υπάρχει και απειρία λύσεων με n-απλά αντιδιαμετρικά συστήματα, όπου η κάθε ιδεατή κολόνα έχει δυσκαμψίες ίσες με το 1/n των συνολικών δυσκαμψιών του συστήματος.

 

 

Έως εδώ όλοι οι υπολογισμοί εξαρτιόνταν από τη γεωμετρία του φορέα και δεν επηρεάζονταν από το μέγεθος της εξωτερικής φόρτισης, π.χ. το Κέντρο Ελαστικής Στροφής, οι στατικές εκκεντρότητες, ή οι ακτίνες δυστρεψίας, είναι ανεξάρτητες του μεγέθους της σεισμικής δύναμης.

Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις παραμορφώσεις του φορέα και τις εντάσεις του λόγω της εξωτερικής σεισμικής φόρτισης H.

Η εκάστοτε σεισμική δύναμη H εξασκείται στο κέντρο μάζας C_M του διαφράγματος. Η δύναμη αυτή μπορεί να αναλυθεί στις δύο δυνάμεις H_x και H_y παράλληλα στους δύο άξονες του κύριου συστήματος. Για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε την προηγούμενη ανάλυση, μεταφέρουμε τις δυνάμεις H_x, H_y στο κέντρο ελαστικής στροφής C_T μαζί με τη ροπή M_CT βάσει της σχέσης:

 

                                                                                                        (9)

Παράδειγμα Γ.7-1: Αν η οριζόντια δύναμη κατά x είναι H=90.6 kN, ζητείται η επίλυση του φορέα.

Υπολογισμός ροπής M_CT :

Οι στατικές εκκεντρότητες είναι e_ox =-0.626 και  e_oy= y_CM=-2.334m

Για δύναμη Η=H_X=90.6 kN στο αρχικό σύστημα X0Y θα έχουμε στο κύριο σύστημα (a=22.44^ο) την ισοδύναμη φόρτιση H_x=H_X·cosa=90.6·0.924=83.72 kN και H_y=-H_X·sina=-90.6·0.382=-34.64 kN και

Μ_CT=-H_x·e_oy+H_y·e_ox=-83.72kN·(-2.334m)+[-34.64kN·(-0.626m)]=195.4 kNm+21.7kNm=217.1 kNm

Με τα εξωτερικά μεγέθη H_x, H_y, M_CT, υπολογίζουμε:

·         τις παραμορφώσεις δ_xo, δ_yo και θ_z του πόλου περιστροφής του διαφράγματος από τις σχέσεις:

 

              ,  ,                                                                          (10)

όπου  , ,  

Παράδειγμα Γ.7-2:

Έχουν ήδη υπολογιστεί K_xx=Σ(K_xxi)= 161.2·10⁶N/m, K_yy=Σ(K_yyi)= 161.2·10⁶ N/m και Κ_θ=3134·10⁶ N·m οπότε

δ_xo=H_x/Κ_xx =83.72·10³N/(274.41·10⁶N/m)=0.305 mm,

δ_yo=H_y/Κ_yy =-34.46·10³N/(161.2·10⁶ N/m)=- 0.214 mm και

θ_z=M_CT/K_θ=217.1kNm/(3134·10³kNm)=0.692·10^-4 

·         τις παραμορφώσεις δ_xi, δ_yi της κεφαλής κάθε κολόνας από τις σχέσεις:

 

,                                                 (11)

·         and the displacements δ_ζi, δ_ηi by transferring δ_xi, δ_yi to the local system of each column using the expressions:

,    όπου                        (12)

Παράδειγμα Γ.7-3:

C₁: δ_x1= δ_xo- θ_z·y₁=0.305mm-0.692·10^-4·(-3.50·10³mm)=(0.305+0.242)mm=0.547 mm

δ_y1= δ_yo+ θ_z·x₁=-0.214mm+0.692·10^-4·(-4.35·10³mm)=(-0.214-0.301)mm=-0.515 mm

Και με μεταφορά στο τοπικό σύστημα που φ’₁=0.0-22.44°=-22.44°.

δ_ζ1= δ_x1·cosφ’₁+δ_y1·sinφ’₁=0.547·0.924-0.515·(-0.382)=0.505+0.197=0.702 mm

δ_η1=-δ_x1·sinφ’₁+δ_y1·cosφ’₁=-0.547·(-0.382)+(-0.515)·0.924=0.209-0.476=-0.267 mm

C₂: δ_x2= δ_xo- θ_z·y₂=0.305mm-0.692·10^-4·(-5.79·10³mm)=(0.305+0.400)mm=0.705 mm

δ_y2= δ_yo+ θ_z·x₂=-0.214mm+0.692·10^-4·1.19·10³mm=(-0.214+0.082)mm=-0.132  mm

Και με μεταφορά στο τοπικό σύστημα που φ’₂=0.0-22.44°=-22.4°.

δ_ζ2= δ_x2·cosφ’₂+δ_y2·sinφ’₂=0.705·0.924+(-0.291)·(-0.132)=0.652+0.038=0.701 mm

δ_η2=-δ_x2·sinφ’₂+δ_y2·cosφ’₂=-0.705·(-0.382)+(-0.132)·0.924=0.269-0.122=0.147 mm

C₃: δ_x3= δ_xo- θ_z·y₃=0.305mm-0.692·10^-4·1.12·10³mm=(0.305-0.078)mm=0.227 mm

δ_y3= δ_yo+ θ_z·x₃=-0.214mm+0.692·10^-4·(-2.44·10³mm)=(-0.214-0.169)mm=-0.383 mm

Και με μεταφορά στο τοπικό σύστημα που φ’₃=30.0-22.44°=7.56°.

δ_ζ3= δ_x3·cosφ’₃+δ_y3·sinφ’₃=0.227·0.991+(-0.383)·0.132=0.225-0.050=0.175 mm

δ_η3=-δ_x3·sinφ’₃+δ_y3·cosφ’₃=-0.227·0.132+(-0.383)·0.991=-0.030-0.380=-0.410 mm

C₄: δ_x4= δ_xo- θ_z·y₄=0.305mm-0.692·10^-4·(-1.17·10³mm)=(0.305+0.081)mm=0.386 mm

δ_y4= δ_yo+ θ_z·x₄=-0.214mm+0.692·10^-4·3.10·10³mm=(-0.214+0.215)mm=0.001 mm

Και με μεταφορά στο τοπικό σύστημα που φ’₄=45.0-22.44°=22.56°.

δ_ζ4= δ_x4·cosφ’₄+δ_y4·sinφ’₄=0.386·0.923+0.001·0.384=0.355+0.000=0.355 mm

δ_η4=-δ_x4·sinφ’₄+δ_y4·cosφ’₄=-0.386·0.384+0.001·0.923=-0.148+0.001=-0.147 mm

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα όπου για σεισμό κατά X, η παραμόρφωση λόγω στροφής στη κολόνα C₂ δίνει δ_x2,θ=0.400 mm που είναι μεγαλύτερη από τη μεταφορική παραμόρφωση δ_xo=0.305 mm και έτσι η συνολική παραμόρφωση γίνεται  δ_x2=0.305+0.400=0.705 mm. 

Εικόνα Γ.7: Κατανομή ροπών (M_ji,1- M_ji,2=V_ji·h)

·         τις τέμνουσες και τις ροπές κάθε υποστυλώματος στο τοπικό του σύστημα βάσει των σχέσεων:

                                                 ,                                                   (13)

                ,                              (14)

            ,  

 

 

Παράδειγμα Γ.7-4:

Υπολογισμός τεμνουσών και ροπών :

Ο συντελεστής κατανομής των ροπών θα ληφθεί ίδιος και προς τις 2 διευθύνσεις a_ζi=a_ηi=0.50

C₁: V_ζ1=δ_ζ1·K_ζ1=0.702mm·31.1·10⁶ N/m =21.8 kN

V_η1=δ_η1·K_η1=-0.267mm·31.1·10⁶ N/m =-8.3 kN

M_ζ1,1 =V_ζ1·h·0.50=21.8·3.0·0.50=32.7 kNm              M_ζ1,2=- M_ζ1,1=-32.7 kNm

M_η1,1=V_η1·h·0.50=-8.3·3.0·0.50=-12.5 kNm              M_ηι,2=- M_η1,1=12.5 kNm

C₂: V_ζ2=δ_ζ2·K_ζ2=0.701mm·31.1·10⁶ N/m =21.8 kN

V_η2=δ_η2·K_η2=0.147mm·31.1·10⁶ N/m =4.6 kN

M_ζ2,1=V_ζ2·h·0.50=21.8·3.0·0.50=32.7 kNm               M_ζ2,2=- M_ζ2,1=-32.7 kNm

M_η2,1=V_η2·h·0.50=4.6·3.0·0.50=6.9 kNm                  M_η2,2=- M_η2,1=-6.9 kNm

C₃: V_ζ3=δ_ζ3·K_ζ3=0.175mm·186.6·10⁶ N/m =32.7 kN

V_η3=δ_η3·K_η3=-0.410mm·26.2·10⁶ N/m =-10.8 kN

M_ζ3,1=V_ζ3·h·0.50=32.7·3.0·0.50=49.1 kNm               M_ζ3,2=- M_ζ3,1=-49.1 kNm

M_η3,1=V_η3·h·0.50=-10.8·3.0·0.50=-16.2 kNm                        M_η3,2=- M_η3,1=16.2 kNm

C₄: V_ζ4=δ_ζ4·K_ζ4=0.355mm·19.7·10⁶ N/m =7.0 kN

V_η4=δ_η4·K_η2=-0.147mm·78.7·10⁶ N/m =-11.6 kN

M_ζ4=V_ζ4·h·0.50=7.0·3.0·0.50=10.5 kNm                   M_ζ4,2=- M_ζ4,1=-10.5 kNm

M_η4,1=V_η4·h·0.50=-11.6·0·0.50=-17.4 kNm               M_η4,2=- M_η4,1=17.4 kNm

Ο σκελετός και η προσομοίωσή του μονόροφου χωρικού πλαισίου

Στην παράγραφο αυτή επιλύεται σε οριζόντια σεισμική δύναμη H=90.6 kN, το μονώροφο χωρικό πλαίσιο της εικόνας με τέσσερις τρόπους: (i) με το χέρι θεωρώντας την κατακόρυφη δυσκαμψία των δοκών άπειρη, (ii) με το excel και την ίδια θεώρηση, (iii) με το excel και θεώρηση μέσου συντελεστή δυσκαμψίας των κολονών k=6, (iv) με τη δυσκαμψία των δοκών και κολονών που προκύπτει από την ελαστική επίλυση του φορέα.

(i) Επίλυση με το χέρι, με θεώρηση αφίπακτων κολονών (k=12)

Η επίλυση είναι αυτή που δόθηκε ως παράδειγμα σε όλες τις προηγούμενες παραγράφους αυτού του παραρτήματος.

(ii) Επίλυση με το excel, με θεώρηση αμφίπακτων κολονών (k=12)

Χρησιμοποιείται το συνοδευτικό υπολογιστικό φύλλο <diaphragm_general.xls> με τη θεώρηση άκαμπτων ζυγωμάτων. Τα αποτελέσματα είναι ίδια με τις πράξεις στο χέρι.

Στο τέλος του φύλλου σχεδιάζεται και ο φορέας με την έλλειψη δυστρεψίας και με τις ισοδύναμες κολόνες.

(iii) Επίλυση με το excel και θεώρηση κολονών με k=6

Αν παρατηρήσουμε τα αποτελέσματα του excel, προκύπτει ότι, το κέντρο ελαστικής στροφής, οι ακτίνες δυστρεψίας του φορέα και τα εντατικά μεγέθη είναι ακριβώς ίδια με των προηγούμενων περιπτώσεων. Αυτό που αλλάζει μόνο είναι το μέγεθος των παραμορφώσεων, αλλά και πάλι οι σχετικές μεταξύ τους τιμές παραμένουν σταθερές ίσες με 12/6=2.00.

(iv) Επίλυση με θεώρηση κανονικών ελαστικών δυσκαμψιών δοκών και κολονών

Για να προσδιορίσουμε τη διαφραγματική λειτουργία του ορόφου ενός κτιρίου, με πραγματικές δυσκαμψίες και όχι με παραδοχές αμφίπακτης λειτουργίας των κολονών του, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κατάλληλο λογισμικό. Η χρήση λογισμικού είναι αναγκαία, είτε το κτίριο είναι μονώροφο, είτε είναι πολυώροφο, είτε έχει ορθογωνικές κολόνες σε παράλληλη διάταξη, είτε όχι.

Στο παράρτημα Δ περιγράφεται η μέθοδος με την οποία προσδιορίζεται η διαφραγματική λειτουργία του κάθε ορόφου και το συγκεκριμένο παράδειγμα, επιλύεται ως παράδειγμα 1.