Ασκήσεις

Να επιλυθεί στατικά η τετραέρειστη πλάκα. Ζητούνται οι ροπές κάμψης, οι τέμνουσες δύναμεις, οι αντιδράσεις στήριξης και το ελαστικό βέλος κάμψης.

Το φορτίο επικάλυψης και ωφέλιμο φορτίο ισούνται αντίστοιχα με: g_e=1.00 kN/m² και q=5.00 kN/m²

Ποιότητα σκυροδέματος:C30/37 (E=32.8 GPa)

Λύση:

Ίδιο βάρος:                                         g_o=0.17m×25.0kN/m³= 4.25 kN/m²

Επικάλυψη:                                        g_e=                               1.00 kN/m²

Σύνολο μόνιμων φορτίων:                 g=                                5.25 kN/m²

Σύνολο ωφέλιμων φορτίων:              q=                                5.00 kN/m²

Ο συνδυασμός σχεδιασμού που δίνει την οριακή κατάσταση αστοχίας προκύπτει από το φορτίο p=γ_g×g+γ_q×q που στην προκειμένη περίπτωση είναι:

p=1.35g+1.50q=1.35×5.25+1.50×5.00=14.59 kN/m²

Ακολουθεί η επίλυση της τετραέρειστης πλάκας με τρείς διαφορετικές μεθόδους, κατά Marcus, κατά Czerny και με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία.

        M_x=12.9 kNm, M_y=7.6 kNm          V_x=22.1 kN, V_y=20.1 kN                           y=-1.73 mm

   Η κατανομή των ροπών M₁₁          Η κατανομή των τεμνουσών V₁₁              Οι παραμορφώσεις

Να επιλυθούν στατικά οι πλάκες του σχήματος. Ζητούνται οι ροπές κάμψης, οι τέμνουσες δυνάμεις, οι αντιδράσεις στήριξης, τα βέλη κάμψης και οι ομοιομορφισμένες φορτίσεις των πλακών επί των δοκών.

Δίνονται: φορτίο επικάλυψης g_e=1.5 kN/m², ωφέλιμο φορτίο q=2.0 kN/m²,
ποιότητα σκυροδέματος C40/50 (E=35.2 GPa).

Λύση:

Διαγράμματα ροπών

Διαγράμματα τεμνουσών

Διαγράμματα βελών κάμψης

Η κατανομή των ροπών M₁₁

Η κατανομή των τεμνουσών V₁₁

Οι παραμορφώσεις

Ζητείται  η στατική επίλυση των πλακών του σχήματος (α) με ενιαία φόρτιση όλου του φορέα και (β) λαμβάνοντας υπόψη την επιρροή των κινητών φορτίων. Δίνονται: φορτίο επικάλυψης g_e=1.00 kN/m² και ωφέλιμα φορτία οικιακής χρήσης q₁=q₂=2.00 kN/m², q₃=5.00 kN/m².
Στην άκρη του προβόλου ασκείται συγκεντρωμένο φορτίο G₃=1.00 kN/m.

Λύση

Ίδιο βάρος: g_o=0.16m×25.0kN/m³=     4.00 kN/m²

Επικάλυψη: g_e=                                  1.00 kN/m²

Σύνολο μόνιμων φορτίων: g=                        5.00 kN/m²        

Στην οριακή κατάσταση αστοχίας, το ελάχιστο φορτίο σχεδιασμού κάθε πλάκας

i ισούται με g_d,i=1.00×g, ενώ το συνολικό φορτίο σχεδιασμού με p_d,i=γ_g×g_i+γ_q×q_i. Στη συγκεκριμένη περίπτωση g_d,i=1.00×5.00=5.0 kN/m και G_d,3=1.00×1.0 kN (συγκεντρωμένο φορτίο). Το μέγιστο φορτίο σχεδιασμού των δύο πρώτων πλακών προκύπτει ίσο με p_d,1=p_d,2=1.35×5.00+1.50×2.00=9.75 kN/m, ενώ της τρίτης πλάκας (μπαλκόνι) με p_d,3=1.35×5.00+1.50×5.00=14.25 kN/m και P_d,3=1.35×1.00=1.35 kN.

Κάθε πλάκα φορτίζεται με το οριακό φορτίο σχεδιασμού.

Στο συγκεκριμένο φορέα απαιτούνται οι παραπάνω έξι δυσμενείς φορτίσεις.

Οι σχέσεις που δίνουν τη λύση του φορέα είναι οι ίδιες για κάθε περίπτωση φόρτισης:

M₁₀=-p₁×l₀₁²/8,  M₂=-p₃×l₂₃²/2-P₃×l₂₃ ,  M₁₂=-p₂×l₁₂²/8-M₂/2,  M₁=(M₁₀+M₁₂)/2

V₀₁=p₁×l₀₁/2+M₁/l₀₁,  V₁₀=-p₁×l₀₁/2+M₁/l_{01  ,}  V₁₂=p₂×l₁₂/2+(M₂-M₁)/l₁₂ ,  V₂₁=-p₂×l₁₂/2+(M₂-M₁)/l₁₂

V₂₃=p₃×l₂₃+P₃, V₃₂=P₃

maxM₀₁=V₀₁²/(2×p₁),  maxM₁₂=V₁₂²/(2×p₂)+M₁

Με διακεκομμένη γραμμή είναι το διάγραμμα της ενιαίας φόρτισης p_d=1.35×g+1.50×q

Ζητείται η πλήρης στατική επίλυση των πλακών του σχήματος (τέμνουσες, ροπές, παραμορφώσεις) που φέρουν φορτία επικάλυψης g_επ=1.5 kN/m² και ωφέλιμο q=5.0 kN/m², με τη μέθοδο των επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων (α) με ενιαία φόρτιση και (β) με δυσμενείς φορτίσεις. Σκυρόδεμα C40/50.

Διάγραμμα ροπών κάμψης

M_x=13.9 kNm, M_y=12.4 kNm, M_yerm=-34.6 kNm

Διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων

V_xr=23.6 kN, V_yr=24.1 kN, V_yerm=45.5 kN

Διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων

V_xr=23.6 kN, V_yr=24.1 kN, V_yerm=45.5 kN

Διάγραμμα βελών κάμψης
y_max=4.03 mm

Η κατανομή των βελών κάμψης με ισοϋψείς και 3D

Διάγραμμα ροπών κάμψης

M_x=15.5 kNm, M_y=12.4 kNm, M_yerm=-34.6 kNm

Διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων

V_xr=24.8 kN, V_yr=24.5 kN, V_yerm=45.5 kN

Διάγραμμα βελών κάμψης

y_max=4.39 mm

Η κατανομή των βελών κάμψης με ισοϋψείς και 3D

Ζητείται η στατική επίλυση και η κατανομή των φορτίων των πλακών επί των δοκών.

Δίνονται: πάχος πλακών s1, s2, s3, s4, s5: h=160 mm, s6: h=210 mm και g_επ=2.0 kN/m²

Στατική επίλυση

g_1,2,3,4,5=0.16×1.0x25.0=4.0 kN/m², g₆=0.21×1.0x25.0=5.25 kN/m², g_επ=2.0 kN/m²

Η επίλυση θα διεξαχθεί με καθολικό φορτίο (επειδή η τιμή του κινητού είναι μικρή):

p_1,2,3,4,5=6.0×1.35+2.0×1.5=11.1 kN/m², p₆=7.25×1.35+2.0×1.5=12.80 kN/m²

επομένως, σε ζώνη πλάτους 1.0 m, αντιστοιχεί φορτίο p_1,2,3,4,5=11.1 kN/m και p₆=12.80 kN/m.

Γενικά, οι δυσμενέστερες ροπές των πλακών είναι αιχμής, δηλαδή ασκούνται σε αμφιέρειστες πλάκες (s1) ή προβόλους (s4) σε ένα σημείο κατά τη μια διεύθυνση και σε μια ευθεία κατά την άλλη. Στις τετραέρειστες πλάκες ασκούνται σε ένα μόνο σημείο και προς τις δύο διευθύνσεις.