Χωρικά πλαίσια

Απλό παράδειγμα ορόφου με 4 υποστυλώματα που καταλήγουν σε άκαμπτη πλάκα-διάφραγμα

Οι πλάκες δημιουργούν ένα ισχυρό οριζόντιο στοιχείο στον σκελετό ενός ορόφου, το λεγόμενο διάφραγμα. Το διάφραγμα είναι πρακτικά άκαμπτο και απαραμόρφωτο, με αποτέλεσμα να υποχρεώνει τόσο τις δοκούς όσο και τις κεφαλές των υποστυλωμάτων να κινούνται με βάση συγκεκριμένο κανόνα.

Στην περίπτωση του σεισμού, στην οποία οι κύριες εντάσεις προκύπτουν από οριζόντιες σει-σμικές δυνάμεις, η διαφραγματική λειτουργία επηρεάζει άμεσα τη λειτουργία ολόκληρου του σκελετού.
Στη συνέχεια, αναπτύσσεται η διαφραγματική λειτουργία, η οποία αφορά κατασκευές κάθε τύπου και μεγέθους. Ως παράδειγμα χρησιμοποιείται η απλή τετράστυλη κατασκευή που απει-κονίζεται στην προηγούμενη σελίδα.

Το κέντρο μάζας C_M και
ο ισοδύναμος δακτύλιος αδράνειας της μάζας με ακτίνα l_s

Η αδρανειακή συμπεριφορά της μάζας Σ(m_i) ενός διαφράγματος περιγράφεται από την αδρανειακά ισοδύναμη κατανομή της μάζας σε ένα δακτύλιο με συνολική μάζα Σ(m_i), ο οποίος έχει ως κέντρο το Κέντρο Μάζας C_M και ως ακτίνα την Ακτίνα Αδράνειας l_s.

Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας C_M ενός διαφράγματος με πολλές μάζες σημειακές είτε γραμμικά κατανεμημένες είτε επιφανειακές κατανεμημένες γραμμικά, προκύπτουν από τις σχέσεις:

, (1)

Η ακτίνα αδράνειας l_s του διαφράγματος ως προς το κέντρο μάζας C_M ισούται με:

(2)

όπου Χ_i και Υ_i είναι οι συντεταγμένες του κέντρου κάθε μάζας i του διαφράγματος, ενώ I_pi είναι η πολική ροπή αδράνειας κάθε μάζας i ως προς το κέντρο μάζαςC_M.

Κέντρο Μάζας:

Λόγω συμμετρικής κατανομής των μαζών, λαμβάνεται  X_CM=3.0 m και Y_CM=2.5 m.

Ακτίνα αδράνειας: [Λαμβάνεται g=10 m/sec², οπότε δύναμη F=1 kN αντιστοιχεί σε μάζα m=0.1 t.]

Πλάκα: m₁=6.0m·5.0m·0.71t/m²=21.3 t

b₁=6.0 m, l₁=5.0 m, L₁=0.0 m à I_p1=21.3t·(6.0²+5.0²)m²/12=108.3 t·m²

Δοκός μεταξύ C₁-C₂: m₂=6m·1.0t/m=6.0 t, l₂=6.0 m, L₂=2.5 m à I_p2=6.0·(6²/12+2.5²)=55.5 t·m²

Δοκός μεταξύ C₃-C₄: ομοίως m₃=6.0 t, I_p2=55.5 t·m²

Δοκός μεταξύ C₁-C₃: m₄=5.0m·1.0t/m=5.0 t, l₄=5.0 m, L₄=3.0 m à I_p4=5.0·(5.0²/12+3.0²)=55.4 t·m²

Δοκός μεταξύ C2-C4: ομοίως m₅=5.0 t, I_p5=55.4 t·m²

Υποστυλώματα: m₆=0.1·(4.00+4.00+6.0+4.5)=1.85 t, L₆=√ (3.0²+2.5²)=3.905 m à  I_p6=1.85·3.905²=28.2 t·m².

Τελικά Σ(m_i)=45.3 t και Σ(I_pi)=358.3 t·m² (2)  →  l_s=√[(Σ(I_pι)/Σ(m_i)]=√(358.3/45.3)=2.81 m

Απλό παράδειγμα ορόφου με 4 υποστυλώματα, τα οποία καταλήγουν σε άκαμπτη πλάκα-διάφραγμα.

Στη συγκεκριμένη παράγραφο εξετάζεται η περίπτωση ορθογωνικών κολονών σε παράλληλη διάταξη. Το Παράρτημα Γ αναλύει τη γενική περίπτωση

Χ0Υ αρχικό σύστημα συντεταγμένων, xC_Ty κύριο σύστημα συντεταγμένων

Όλα τα σημεία, άρα και οι κεφαλές των κολονών επί της πλάκας κινούνται με τον ίδιο κανόνα κατά την οριζόντια ώθηση H ενός ορόφου, λόγω της ύπαρξης της πλάκας, η οποία στο επίπεδο της είναι πρακτικά άκαμπτη.

Ο κανόνας αυτός της κίνησης επιτάσσει το διάφραγμα να έχει μία παράλληλη (μεταφορική) μετατόπιση κατά δ_xo, δ_yo και μία στροφή θ_z πέριξ του πόλου περιστροφής C_T(x_CT, y_CT) στο σύστημα xC_Ty, το οποίο σύστημα είναι παράλληλο προς το αρχικό σύστημα X0Y και έχει ως αρχή των αξόνων το σημείο C_T.

Η διαφραγματική λειτουργία εξετάζεται ως επαλληλία τριών καταστάσεων:

(α) παράλληλη μετατόπιση του διαφράγματος κατά X λόγω οριζόντιας συνιστώσας δύναμης H_X,

(β) παράλληλη μετατόπιση του διαφράγματος κατά Y λόγω οριζόντιας συνιστώσας δύναμης H_Y,

(γ) στροφή του διαφράγματος λόγω ροπής M_CT  που ασκείται στον πόλο περιστροφής C_T.

Στην περίπτωση κατά την οποία ασκείται οριζόντια δύναμη H_x επί του C_T κατά x, ισχύουν οι 2 ακόλουθες εξισώσεις ισορροπίας:

• • Το άθροισμα των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση x ισούται με H_x, δηλαδή H_x=Σ(V_xoi) (i).
• • Το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων V_xoi ως προς το σημείο C_T ισούται με μηδέν, δηλαδή Σ(V_xoi·y_i)=0 (ii).

Κάθε κολόνα i αναλαμβάνει τέμνουσα δύναμη V_xoi=δ_xo· K_xi.

Με βάση τη σχέση Σ(V_xoi)=Σ(δ_xo·K_xi )=δ_xo·Σ(K_xi), η (i) γίνεται H_x=δ _xo·Σ(K_xi) →

H_x=K_x·δ_xo όπου K_x=Σ(K_xi).

H (ii) δίνει Σ(V_xoi·[ Y_i-Y_CT])=0 → Σ(V_xoi·Y_i ) -Σ(V_xoi·Y_CT)=0 → Y_CT·Σ( V_xoi)= Σ(V_xoi·Y_CT) →

Y_CT=Σ(δ_xo·K_xi·Y_i)/Σ(δ_xo·K_xi) → Y_CT=Σ(K_xi·Y_i)/Σ(K_xi)

Οι αντίστοιχοι τύποι για τη διεύθυνση y προκύπτουν με όμοιο τρόπο.

H_y=K_y·δ_yo όπου K_y=Σ(K_yi) και X_CT=Σ(K_yi·X_i)/Σ(K_yi)

Συνοψίζοντας, οι σχέσεις που δίνουν το κέντρο ελαστικής στροφής και τις μεταφορικές δυσκαμψίες είναι οι παρακάτω:

Κέντρο Ελαστικής Στροφής και Μεταφορικές Δυσκαμψίες:

,  όπου                                                        (4’)

,  όπου                                                        (5’)

Εξετάζουμε την παραμόρφωση που προκαλεί η εξωτερική ροπή M, η οποία ασκείται στο κέντρο ελαστικής στροφήςC_T. Προκειμένου να εξετάσουμε την κίνηση αυτή, μεταφερόμαστε 

(απλή παράλληλη μετάθεση) από το αρχικό σύστημα X0Y στο κύριο σύστημα xC_Ty. Η μεταφορά του κέντρου μάζας στο κύριο σύστημα πραγματοποιείται με τις στατικές εκκεντρότητες [1] e_ox, e_oy τουC_M ως προς το C_T σύμφωνα με τις σχέσεις:

Κύριο σύστημα συντεταγμένων

, , ,                                                              (6’)

Η παραμόρφωση του διαφράγματος είναι ουσιαστικά μία στροφή θ_z περί το C_T, η οποία προκαλεί μετατόπιση δ_i στην κεφαλή κάθε υποστυλώματος i με συντεταγμένες x_i,y_i ως προς το σύστημα συντεταγμένων με αρχή το C_T. Αν η απόσταση του σημείου i από το C_T ισούται με r_i, οι δύο συνιστώσες της (απειροστής) παραμόρφωσης δ_i ισούνται με δ_xi=-θ_z·y_i και δ_yi=θ_z·x_i.

Οι μετατοπίσεις δ_xi, δ_yi δημιουργούν σε κάθε υποστύλωμα τέμνουσες V_xi και V_yi, όπου

V_xi=K_xi·δ_xi=K_xi·(-θ_z·y_i) → V_xi=-θ_z·K_xi·y_i και V_yi=K_yi·δ_yi=K_yi·(θ_z·x_i) → V_yi=θ_z·k_yi·x_i

Η συνισταμένη των ροπών όλων των τεμνουσών δυνάμεων V_xi, V_yi ως προς το κέντρο ελαστικής στροφής ισούται με την εξωτερική ροπή M_CT, δηλαδή

M_CT=Σ(-V_xi·y_i+V_yi·x_i+K_zi) → M_CT= θ_z·Σ(K_xi·y_i²+K_yi·x_i²+K_zi)

Δυστρεψία K_zi υποστυλώματος i

Οι κολόνες ανθίστανται στη στροφή του διαφράγματος με την καμπτική τους δυσκαμψία κατά τους όρους K_xi·y_i² , K_yi·x_i² (σε N·m), αλλά και με την ίδια τη δυστρεψία τους K_zi σε μονάδες ροπής π.χ. N·m.

Η δυστρεψία ενός υποστυλώματος ισούται με K_z=0.5E·I_d/h, όπου 0.5Ε είναι το μέτρο διάτμησης G του υλικού, το οποίο συνήθως λαμβάνεται ίσο με το 0.5 του μέτρου ελαστικότητας του υλικού της κολόνας, h είναι το ύψος της κολόνας και I_d είναι η στρεπτική ροπή αδράνειας της διατομής. Το I_d λαμβάνεται από τον ακόλουθο πίνακα.

Δυστρεψία του διαφραγματικού ορόφου

  όπου                                                            (7’)

Η ποσότητα Κ_θ ονομάζεται δυστρεψία (στροφική δυσκαμψία) του διαφράγματος και έχει μονάδες N·m, κατ’ αναλογία με τις ποσότητες K_x=Σ(K_xi), K_y=Σ(K_yi), οι οποίες ονομάζονται μεταφορικές δυσκαμψίες του διαφράγματος κατά τη διεύθυνση x και y αντίστοιχα και έχουν μονάδες N/m.

Ορισμοί:

Μεταφορική δυσκαμψία Κ_j διαφράγματος είναι η δύναμη κατά τη διεύθυνση j που απαιτείται για να προκαλέσει σχετική παράλληλη μετατόπιση του διαφράγματος κατά μία μονάδα προς αυτή τη διεύθυνση.

Δυστρεψία K_θ διαφράγματος είναι η ροπή που απαιτείται για να προκαλέσει σχετική στροφή του διαφράγματος κατά μία μονάδα.

Παρατήρηση

Η (ίδια) δυστρεψία των κολονών K_z είναι πολύ μικρή και συνήθως παραλείπεται.

Ζητείται: ένα ιδεατό απλό Ισοδύναμο στατικό Σύστημα, το οποίο θα εμφανίζει την ίδια σεισμική συμπεριφορά με το πραγματικό στατικό σύστημα.

Απάντηση: Τοποθετούμε 4 ιδεατές κολόνες E₁, E₂ και E₃, E₄ συμμετρικά ως προς το κέντρο C_T και ως προς τους άξονες x και y, δηλαδή και οι 4 ιδεατές κολόνες έχουν την ίδια απόλυτη τιμή της συντεταγμένης x και της συντεταγμένης y. Οι ιδεατές κολόνες E₁, E_2, E₃, E₄  έχουν η καθεμία δυσκαμψία K_x=1/4·Σ(K_xi) και K_y=1/4·Σ(K_yi).

Το σύστημα αυτό ικανοποιεί τις 2 συνθήκες του πραγματικού συστήματος, οι οποίες αφορούν τις μετακινήσεις ολίσθησης του διαφράγματος του συνόλου των κολονών.

Δυσκαμψία κατά x: 4·1/4·Σ(K_xi)=Σ(K_xi) και δυσκαμψία κατά y: 4·(1/4)·Σ(K_yi)=Σ(K_yi)

Για να ικανοποιείται η 3^η συνθήκη, το ιδεατό σύστημα θα πρέπει να έχει δυστρεψία

K_θ,eq=[4·(1/4)·Σ(K_yi)·y²+4·(1/4)·Σ(K_xi)·x²]=Σ(K_xi)·y²+Σ(K_yi)·x²

ίση με τη δυστρεψία του πραγματικού συστήματος

K_θ,re=Κ_θ=Σ(K_xi·y_i²+K_yi·x_i²+K_zi).

Δηλαδή, πρέπει: K_θ,eq=K_θ,re → Σ(K_yi)·x²+Σ(K_xi)·y²=K_θ →

Ακτίνες δυστρεψίας του διαφράγματος:

 όπου     και                                                         (8’)

Η καμπύλη (8’) είναι έλλειψη με κέντρο το C_T, διεύθυνση αυτή των κυρίων αξόνων (εν προκειμένω τη διεύθυνση του αρχικού συστήματος) και ημιάξονες r_x, r_y, (ακτίνες δυστρεψίας του διαφράγματος).

Συμπέρασμα:

Η στρεπτική συμπεριφορά  ορόφου περιγράφεται από την ελλειψοειδή γραμμή δυστρεψίας (C_T, r_x, r_y), η οποία παριστάνει την ισοδύναμη κατανομή της δυσκαμψίας του διαφράγματος.

Οι ακτίνες r_x, r_y, της έλλειψης ονομάζονται ακτίνες δυστρεψίας.

Υπάρχει απειρία λύσεων ιδεατών διπλών ζευγών συστημάτων, εκ των οποίων το πιο χαρακτηριστικό είναι εκείνο με τις 4 ιδεατές κολόνες στα 4 άκρα της έλλειψης.

Γενικά, υπάρχει απειρία λύσεων με n-απλά αντιδιαμετρικά συστήματα, όπου η κάθε ιδεατή κολόνα έχει δυσκαμψίες ίσες με το 1/n των συνολικών δυσκαμψιών του συστήματος.

Δακτύλιος αδράνειας της μάζας (C_M, l_s) και έλλειψη δυστρεψίας (C_T, r_x, r_y)

Η σχέση μεταξύ του δακτύλιου αδράνειας της μάζας (C_M,l_s) και της έλλειψης δυστρεψίας (C_T, r_x, r_y) καθορίζει τον βαθμό δυστρεψίας του διαφραγματικού ορόφου. Η ιδανική θέση των δύο καμπυλών είναι η έλλειψη δυσκαμψίας να περιβάλλει τον δακτύλιο αδράνειας.

Αν έστω και σε ένα μόνο διαφραγματικό όροφο κτιρίου προκύψει r_x<l_s ή r_y<l_s, τότε το σύστημα θεωρείται στρεπτικά εύκαμπτο [EC8 §5.2.2.1]. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ισχύει ότι r_x>l_s και r_y>l_s.

Ένα κτίριο είναι κανονικό σε κάτοψη, όταν σε κάθε όροφο οι 2 στατικές εκκεντρότητες e_ox , e_oy ικανοποιούν τη συνθήκη e_ox≤0.30r_x & e_oy≤0.30r_y [EC8 §4.2.3.2]. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ισχύει ότι e_ox=0.94 m ≤ 0.30r_x (=0.30·3.91=1.173 m), ενώ δεν ισχύει ότι e_ox=1.34 m ≤ 0.30r_x (=0.30·3.08=0.924 m), άρα το κτίριο, στο οποίο ανήκει ο συγκεκριμένος διαφραγματικός όροφος, δεν είναι κανονικό σε κάτοψη.

Ο σκελετός και η προσομοίωση του μονώροφου χωρικού πλαισίου

Το μονώροφο χωρικό πλαίσιο της εικόνας επιλύεται σε οριζόντια σεισμική δύναμη H=90.6 kN με τέσσερις τρόπους: (i) με το χέρι θεωρώντας άπειρη την κατακόρυφη δυσκαμψία των δοκών, (ii) με το excel και την ίδια θεώρηση, (iii) με το excel και θεώρηση μέσου συντελεστή δυσκαμψίας των κολονών ίσο με k=6 , (iv) με τη δυσκαμψία των δοκών και κολονών να προκύπτει από την ελαστική επίλυση του φορέα.

Η επίλυση με το χέρι δόθηκε ως παράδειγμα σε προηγούμενες παραγράφους.
Τα αποτελέσματα είναι ίδια με τις πράξεις στο χέρι.
Ο φορέας σχεδιάζεται στο τέλος του φύλλου με την έλλειψη δυστρεψίας και με τις ισοδύναμες κολόνες.

Από τα αποτελέσματα του excel προκύπτει ότι, το κέντρο ελαστικής στροφής, οι ακτίνες δυ-στρεψίας του φορέα και τα εντατικά μεγέθη είναι ακριβώς τα ίδια με τα αντίστοιχα μεγέθη των προηγούμενων περιπτώσεων. Το μόνο που αλλάζει είναι το μέγεθος των παραμορφώσεων, αλλά και πάλι οι σχετικές μεταξύ τους τιμές διατηρούνται σταθερές και ίσες με 12/6=2.00.

Η επίλυση μπορεί να γίνει μόνο με τη χρήση λογισμικού. Πρόκειται για τη μελέτη <B_545>. Η θεωρία προσδιορισμού της διαφραγματικής λειτουργίας από τις αναλύσεις αναφέρεται αναλυτικά στο Παράρτημα Δ.
Ο δακτύλιος αδράνειας είναι ίδιος με τις 2 προηγούμενες περιπτώσεις, καθώς εξαρτάται μόνο από τα φορτία, ενώ όλα τα υπόλοιπα μεγέθη προκύπτουν διαφορετικά, όπως αναμενόταν. Το κέντρο ελαστικής στροφής C_T έχει συντεταγμένες (3.646, 3.314), ενώ οι ακτίνες δυστρεψίας ισούνται με r_x=3.920 m και r_y=3.572 m (έναντι 3.910 και 3.080 της θεώρησης αμφίπακτων κολονών). Οι ισοδύναμες κολόνες έχουν διατομή 415/378 (έναντι 524/406).